Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Ευαισθησία και Κατάσταση
Document Actions
Ευαισθησία και Κατάσταση
Next: Προς τα Πίσω Ανάλυση Up: Προσεγγίσεις στους Επιστημονικούς Υπολογισμούς Previous: Απόλυτο και Σχετικό Σφάλμα Contents
Ευαισθησία και Κατάσταση
Οι δυσκολίες στην ακριβή επίλυση ενός προβλήματος δεν οφείλονται πάντοτε σε έναν κακώς κατανοηθέντα μαθηματικό τύπο ή αλγόριθμο, αλλά μπορεί να ενυπάρχει στο πρόβλημα που επιλύεται. Ακόμη και με ακριβείς υπολογισμούς, είναι δυνατόν η λύση του προβλήματος να είναι πολύ ευαίσθητη σε δαταράξεις των δεδομένων του προβλήματος. Ενα πρόβλημα λέγεται μη ευαίσθητο, ή καλής κατάστασης, αν μία δοσμένη σχετική αλλαγή (διατάραξη) στα δεδομένα προκαλεί μία λογικά σύμμετρη αλλαγή στη λύση. Ενα πρόβλημα λέγεται ευαίσθητο, ή κακής κατάστασης, αν η σχετική αλλαγή στη λύση μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή των δεδομένων. Μιλώντας τυπικά, ορίζουμε το Δείκτη Κατάστασης (ΔΚ) ενός προβλήματος 51#51 στο 33#33 ως
52#52
όπου 47#47 είναι ένα σημείο κοντά στο 33#33. Ενα πρόβλημα είναι ευαίσθητο, ή κακής κατάστασης, αν ο ΔΚ είναι πολύ μεγαλύτερος από 39#39. Οποιοσδήποτε έχει νιώσει το νερό στο μπάνιο να πηγαίνει από το παγωμένο στο καυτό, ή αντίστροφα, ακόμα και στο ελάχιστο, ήρθε σε άμεση επαφή με ένα ευαίσθητο σύστημα.
27#27
Παράδειγμα 1.2
Υπολογίζοντας μια συνάρτηση.
Θεωρείστε το μεταδιδόμενο σφάλμα των δεδομένων ενός προβλήματος όταν
μία συνάρτηση 51#51 υπολογίζεται για μια προσεγγιστική τιμή της
μεταβλητής
53#53 αντί για την "πραγματική"
μεταβλητη τιμή 33#33. Γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό ότι
Αρα, έτσι, το σχετικό σφάλμα στην τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο ή πολύ μικρότερο από αυτό στα δεδομένα, εξαρτώμενο από τις ιδιότητες της συνάρτησης που εμπλέκεται και τη συγκεκριμένη τιμή των δεδομένων. Για παράδειγμα, αν 57#57 τότε : απόλυτο σφάλμα 58#58, σχετικό σφάλμα 59#59, ΔΚ = 60#60.
Απόλυτο σφάλμα =
54#54
έτσι ώστε
Σχετικό σφάλμα =
55#55
και επομένως
56#56
Αρα, έτσι, το σχετικό σφάλμα στην τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο ή πολύ μικρότερο από αυτό στα δεδομένα, εξαρτώμενο από τις ιδιότητες της συνάρτησης που εμπλέκεται και τη συγκεκριμένη τιμή των δεδομένων. Για παράδειγμα, αν 57#57 τότε : απόλυτο σφάλμα 58#58, σχετικό σφάλμα 59#59, ΔΚ = 60#60.
27#27
Παράδειγμα 1.3
Ευαισθησία
Θεωρείστε το πρόβλημα του υπολογισμού των τιμών της συνάρτησης του
συνημιτόνου για τιμές κοντά στο 61#61. Εστω
62#62
και 63#63 μία μικρή διατάραξη του 33#33. Τότε το σφάλμα στον υπολογισμό
του 64#64 δίνεται από
τη σχέση
ενώ
άρα, έτσι η σχετική αλλαγή στο αποτέλεσμα, 70#70, είναι περίπου 71#71 φορές μεγαλύτερη από τη σχετική αλλαγή στη μεταβλητή, 72#72
Απόλυτο σφάλμα =
65#65,
και επομένως
Σχετικό σφάλμα
66#66.
Αρα, έτσι, μικρές αλλαγές στο 33#33 κοντά στο 61#61 προκαλούν μεγάλες
σχετικές αλλαγές στην τιμή του 67#67 ανεξάρτητα από τη μέθοδο
υπολογισμού του. Για παράδειγμα,
68#68
ενώ
69#69
άρα, έτσι η σχετική αλλαγή στο αποτέλεσμα, 70#70, είναι περίπου 71#71 φορές μεγαλύτερη από τη σχετική αλλαγή στη μεταβλητή, 72#72
27#27
Manolis Vavalis 2000-03-24
