Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Βαθμός Ακρίβειας
Document Actions
Next: Σταθερότητα μίας Αριθμητικής Μεθόδου Up: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ Previous: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ Contents
Βαθμός Ακρίβειας
Όπως και άλλες μέθοδοι που αντικαθιστούν τις παραγώγους με πεπερασμένες διαφορές, μία αριθμητική διαδικασία για την επίλυση μίας 1395#1395 υποφέρει από δύο ευκρινείς πηγές σφάλματος:
- Σφάλμα στρογγυλοποίησης, το οποίο οφείλεται στην πεπερασμένη ακρίβεια της αριθμητικής που χρησιμοποιεί αριθμούς κινητής υποδιαστολής.
- Σφάλμα αποκοπής (ή σφάλμα διάκρισης), το οποίο οφείλεται στη μέθοδο που χρησιμοποιείται, και το οποίο θα παρέμενε ακόμα και αν όλη η αριθμητική μπορούσε να εκτελεστεί επ' ακριβώς.
Παρόλο που προέρχονται από διαφορετικές πηγές, αυτοί οι δύο τύποι σφαλμάτων δεν είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλον. Για παράδειγμα, το σφάλμα αποκοπής μπορεί συνήθως να ελαττωθεί χρησιμοποιώντας μικρότερο μέγεθος βήματος 63#63, αλλά κάνοντας αυτό μπορεί να προκαλέσουμε μεγαλύτερο σφάλμα στρογγυλοποίησης (δείτε το παράδειγμα 1.11). Παρόλα αυτά, στις περισσότερες περιπτώσεις στην πράξη, το σφάλμα αποκοπής είναι ο κύριος παράγοντας κατά τον καθορισμό της ακρίβειας των αριθμητικών λύσεων των 1407#1407, και θα πρέπει από εδώ και στο εξής να αγνοούμε το σφάλμα στρογγυλοποίησης.
Το σφάλμα αποκοπής στο βήμα 432#432 μίας αριθμητικής λύσης μίας 1395#1395 μπορεί να μπορεί περαιτέρω να χωριστεί σε δύο:
- Τοπικό σφάλμα αποκοπής, που δηλώνεται από το 444#444, και είναι το σφάλμα που γίνεται σε ένα βήμα της αριθμητικής μεθόδου. Ακριβέστερα,
1445#1445
όπου 1446#1446 είναι η λύση που υπολογίσαμε στο 1421#1421, και 1447#1447 είναι το μέλος της οικογένειας των πραγματικών λύσεων της 1395#1395 που περνάει από το προηγούμενο σημείο ( 1448#1448). - Καθολικό σφάλμα αποκοπής, που δηλώνεται από το 1449#1449, και είναι η διαφορά μεταξύ της λύσης που υπολογίσαμε και της πραγματικής λύσης που καθορίστηκε από τα αρχικά δεδομένα στο 1416#1416. Ακριβέστερα,
1450#1450
Η ακρίβεια μίας αριθμητικής μεθόδου λέμε ότι είναι τάξεως 603#603 αν
Το κίνητρο γι' αυτό τον ορισμό, μίας τάξης μικρότερης από τον εκθέτη του μεγέθους βήματος στο τοπικό σφάλμα, είναι ότι αν το τοπικό σφάλμα είναι τάξεως 1452#1452, τότε το άθροισμα των τοπικών σφαλμάτων από το 1416#1416 ως το 1421#1421 θα είναι
όπου 63#63 είναι το μέσο μέγεθος βήματος, και αυτό δίνει μία πρόχειρη προσέγγιση για το καθολικό σφάλμα 1449#1449. ΣΧΗΜΑ 9.6 Τοπικά και καθολικά σφάλματα στη μέθοδο 18#18 για την 1443#1443. ΣΧΗΜΑ 9.7 Τοπικά και καθολικά σφάλματα στη μέθοδο 18#18 για την 1444#1444.
Αν πάρουμε 1455#1455 και 1456#1456, παίρνουμε
Αν τώρα αφαιρέσουμε αυτό από τη μέθοδο 18#18 παίρνουμε
Η διαφορά στο αριστερό μέλος της προηγούμενης συνάρτησης είναι το καθολικό σφάλμα 1459#1459. Αν δεν υπήρχαν προηγούμενα σφάλματα, τότε θα είχαμε 1460#1460, και οι δύο πρώτες διαφορές στο δεξί μέλος θα ήταν μηδέν, αφήνοντας μόνο τον όρο 1461#1461, που είναι το τοπικό σφάλμα αποκοπής. Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι η μέθοδος 18#18 είναι πρώτου βαθμού ακρίβειας.
Manolis Vavalis 2000-03-24
