Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Απαλοιφή και Παραγοντοποίηση.
Document Actions
Next: Οδήγηση Up: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Previous: Στοιχειώδεις Πίνακες Απαλοιφής Contents
Απαλοιφή 1#1 και 2#2 Παραγοντοποίηση.
Με τους στοιχειώδεις πίνακες απαλοιφής είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψουμε ένα οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα 379#379 σε άνω τριγωνικό σύστημα. Πρώτα επιλέγουμε έναν κατάλληλο στοιχειώδη πίνακα απαλοιφής 454#454 σύμφωνα με τον τρόπο που υποδείχθηκε στην Παράγραφο 2.2.2, με το πρώτο στοιχείο της κύριας διαγωνίου του 455#455 ως οδηγό, έτσι ώστε, όταν πολλαπλασιάσουμε απο αριστερα με 456#456, κάθε στοιχείο της πρώτη στήλης του 369#369 να μηδενιστεί εκτός από αυτό της πρώτης γραμμής. Φυσικά, όλες οι υπόλοιπες στήλες του 369#369, καθώς επίσης και το διάνυσμα 365#365 του δεύτερου μέλους, πολλαπλασιάζονται επί 457#457, έτσι το νέο σύστημα γίνεται 458#458 αλλά σύμφωνα με όσα είπαμε πριν η λύση παραμένει αμετάβλητη.
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το δεύτερο στοιχείο της διαγωνίου ως οδηγό για να ορίσουμε ένα δεύτερο στοιχειώδη πίνακα απαλοιφής 459#459 που απαλείφει όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης του νέου πίνακα 460#460 κάτω από τη δεύτερη γραμμή. Πάλι, ο 459#459 πρέπει να εφαρμοστεί σε ολόκληρο τον πίνακα και στο διάνυσμα του δεξιού μέλους, έτσι ώστε λαμβάνουμε το περαιτέρω τροποποιημένο γραμμικό σύστημα 461#461. Σημειώνεται ότι η πρώτη στήλη του πίνακα 460#460 δεν επηρεάζεται από τον 459#459 επειδή όλα του τα στοιχεία είναι μηδέν στις σχετικές γραμμές. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται για κάθε επόμενη στήλη έως ότου μηδενιστούν όλα τα στοιχεία του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο, έτσι ώστε το γραμμικό σύστημα 462#462 είναι άνω τριγωνικό και μπορεί να επιλυθεί με πρός τα πίοω αντικατάσταση δίνοντάς μας τη λύση του αρχικού γραμμικού συστήματος 383#383.
Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε είναι γνωστή ως απαλοιφή
1#1. Είναι επίσης γνωστή και ως 2#2 ανάλυση ή 2#2
παραγοντοποίηση γιατί αναλύει τον πίνακα 369#369 σε ένα γινόμενο ενός
κάτω τριγωνικού πίνακα με μοναδιαία διαγώνια στοιχεία, του 107#107,
και ενός άνω τριγωνικού πίνακα, του 108#108. Για να το δούμε αυτό, ας
θυμηθούμε ότι το γινόμενο 463#463 είναι κάτω τριγωνικός πίνακας
με μονάδες στη διαγώνιο αν 464#464 έτσι ώστε
είναι κάτω τριγωνικός με μονάδες στη διαγώνιο. Eχουμε ήδη δεί, εκ κατασκευής, ότι ο πίνακας 466#466 είναι άνω τριγωνικός. Επομένως, έχουμε εκφράσει τον 369#369 σαν ένα γινόμενο
όπου ο 107#107 είναι κάτω τριγωνικός με μονάδες στη διαγώνιο και ο 108#108 άνω τριγωνικός. Δεδομένης μιας τέτοιας παραγοντοποίησης, το γραμμικό σύστημα 379#379 μπορεί λοιπόν να γραφτεί ως 468#468 και επομένως μπορεί να λυθεί αν πρώτα λύσουμε το κάτω τριγωνικό σύστημα 469#469 με προς τα μπρος αντικατάσταση και μετά το άνω τριγωνικό σύστημα 470#470 με προς τα πίσω αντικατάσταση. Σημειώστε ότι η ενδιάμεση λύση 170#170 είναι η ίδια με το μετασχηματισμένο διάνυσμα του δεξιού μέλους, 471#471 στην προηγούμενη διατύπωση. Επομένως, η απαλοιφή 1#1 και η 2#2 παραγοντοποίηση είναι απλά δύο τρόποι έκφρασης της ίδιας διαδικασίας επίλυσης.
ή σε συμβολισμό πινάκων
Για να μηδενίσουμε τα κάτω από την κύρια διαγώνιο στοιχεία της πρώτης στήλης του 369#369, αφαιρούμε δύο φορές την πρώτη γραμμή από τη δεύτερη και προσθέτουμε την πρώτη γραμμή στην τρίτη:
Τώρα, για να μηδενίσουμε τα κάτω από την κύρια διαγώνιο στοιχεία της δεύτερης στήλης του 460#460, αφαιρούμε την δεύτερη γραμμή από την τρίτη:
Εχουμε έτσι καταφέρει να απλοποιήσουμε το αρχικό σύστημα στο ισοδύναμο άνω τριγωνικό σύστημα
το οποίο μπορεί τώρα να λυθεί με προς τα πίσω αντικατάσταση (όπως στο Παράδειγμα 2.4) για να πάρουμε τελικά 477#477. Για να γράψουμε αναλυτικά την 2#2 παραγοντοποίηση, έχουμε
έτσι ώστε
Manolis Vavalis 2000-03-24
