Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Νόρμες Διανυσμάτων
Document Actions
Next: Νόρμες Πινάκων Up: Νόρμες και Αριθμοί Κατάστασης Previous: Νόρμες και Αριθμοί Κατάστασης Contents
Νόρμες Διανυσμάτων
Για να μετρήσουμε τα σφάλματα και την ευαισθησία κατά την επίλυση γραμμικών συστημάτων, χρειαζόμαστε κάποια ιδέα του «μεγέθους» των διανυσμάτων και των πινάκων. Η βαθμωτή έννοια του μεγέθους, του μέτρου, ή της απόλυτης τιμής μπορούν να γενικευθούν με την εισαγωγή της έννοιας της νόρμας για διανύσματα και για πίνακες. Αν και ένας περισσότερο γενικός ορισμός είναι δυνατός, όλες οι νόρμες διανυσμάτων που θα χρησιμοποιήσουμε είναι περιπτώσεις 603#603-νορμών, οι οποίες για έναν ακέραιο 604#604 και ένα διάνυσμα 33#33 διάστασης 366#366 ορίζονται ως εξής:
Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι οι παρακάτω:
- 1-νόρμα:
606#606
μερικές φορές λέγεται και η νόρμα του 607#607 γιατί στο επίπεδο στο οποίο αντιστοιχεί, είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων όπως μετράται σε «αστικά τετράγωνα». - 2-νόρμα:
608#608
που αντιστοιχεί στη συνηθισμένη έννοια της απόστασης του Ευκλείδειου χώρου. - 609#609-νόρμα:
610#610
που μπορούμε να την δούμε ως μία οριακή περίπτωση όταν 611#611.
Ολες αυτές οι νόρμες δίνουν τα ίδια ποιοτικά αποτελέσματα, αλλά σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, μπορεί να είναι πιο εύκολο να εργαστούμε με μία ορισμένη νόρμα, αναλυτικά ή υπολογιστικά. Οι 39#39-νόρμα και 609#609-νόρμα συνήθως χρησιμοποιούνται στην ανάλυση της ευαισθησίας της λύσης γραμμικών συστημάτων. Θα χρησιμοποιούμε τη 612#612-νόρμα αργότερα σε άλλες περιπτώσεις. Οι διαφορές μεταξύ αυτών των νορμών φαίνεται στο Σχήμα 2.1, που δείχνει τη μοναδιαία σφαίρα, 613#613, σε δύο διαστάσεις για κάθε μία νόρμα.
Η νόρμα ενός διανύσματος είναι απλά ο παράγοντας με βάση τον οποίο η μοναδιαία σφαίρα πρέπει να επεκταθεί ή να συρρικνωθεί ώστε να περικλέισει το διάνυσμα. Για παράδειγμα, για το διάνυσμα του Σχήματος 2.1 οι νόρμες έχουν τις ακόλουθες τιμές:
Γενικά, για κάθε διάνυσμα 33#33 του 615#615, έχουμε
Εξάλλου, ισχύουν και τα εξής:
Αρα, για ένα δοσμένο 366#366 οποιεσδήποτε δύο νόρμες διαφέρουν μεταξύ τους κατά έναν πεπερασμένο παράγοντα, οπότε είναι όλες ισοδύναμες με την έννοια ότι όταν μία από αυτές είναι μικρή, πρέπει να είναι όλες ανάλογα μικρές. Επομένως, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε νόρμα είναι πιο κατάλληλη σε μια δοσμένη περίπτωση. Στο παρόν βιβλίο από τώρα και μετά, θα χρησιμοποιούμε τον κατάλληλο δείκτη για να υποδειχθεί μία συγκεκριμένη νόρμα, όταν αυτό θεωρείται απαραίτητο, αλλά ο δείκτης αυτός θα παραλείπεται όταν δεν έχει σημασία ποια συγκεκριμένη νόρμα χησιμοποιείται.
Για κάθε νόρμα διανύσματος, ισχύουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες, όπου 33#33 και 170#170 είναι οποιαδήποτε διανύσματα:
- 618#618 αν 619#619.
- 620#620 για κάθε πραγματικό αριθμό 385#385.
- 621#621 (τριγωνική ανισότητα).
Σε μια γενικότερη αντιμετώπιση, αυτές οι τρεις ιδιότητες μπορούν να θεωρηθούν ως ο ορισμός της νόρμας διανύσματος. Μία χρήσιμη τροποποίηση της τριγωνικής ανισότητας είναι
Manolis Vavalis 2000-03-24
