Βελτίωση της Ακρίβειας

Παρ' όλο που η ακρίβεια που μπορεί να περιμένει κανείς στη λύση ενός γραμμικού συστήματος φαίνεται να είναι μία συγκεκριμένη, αυτή μπορεί να αυξηθεί σε κάποιες περιπτώσεις επανασταθμίζοντας το σύστημα ή βελτιώνοντας επαναληπτικά την αρχικά υπολογισμένη λύση. Αυτές οι μέθοδοι δεν είναι πάντα κατορθωτές, αλλά ίσως αξίζει να δοκιμαστούν.

Θυμηθείτε από το Παράδειγμα 2.3 ότι η διαγώνια στάθμιση ενός γραμμικού συστήματος είτε αφήνει τη λύση αμετάβλητη (στάθμιση γραμμών), είτε την αλλάζει με τρόπο τέτοιο ώστε εύκολα επαναποκτάται (στάθμιση στηλών). Στην πράξη, όμως, η στάθμιση επηρεάζει την κατάσταση του συστήματος και την επιλογή των οδηγών στην απαλοιφή 1#1, και αυτά τα δύο με τη σειρά τους επηρεάζουν την ακρίβεια της λύσης που υπολογίζουμε. Αρα, η στάθμιση γραμμών και στηλών ενός γραμμικού συστήματος μπορούν να βελτιώσουν (ή να μειώσουν) σημαντικά την αριθμητική ευστάθεια του συστήματος και την ακρίβεια της λύσης.

Η ακρίβεια συνήθως μπορεί να βελτιωθεί αν όλα τα στοιχεία του πίνακα έχουν μέγεθος της ίδιας περίπου τάξης, ή ακόμη καλύτερα, αν οι αβεβαιότητες στα στοιχεία του πίνακα είναι όλες περίπου του ίδιου μεγέθους. Μερικές φορές, κυττάζοντας απλά τον πίνακα, είναι προφανές το πώς θα πρέπει να τον σταθμίσουμε ώστε να πετύχουμε μια τέτοια ισορροπία, με το να επιλέξουμε τις κατάλληλες μονάδες μέτρησης για τις αντιπροσωπευτικές μεταβλητές και με το να δώσουμε τον κατάλληλο συντελεστή βαρύτητας στην κάθε εξίσωση σύμφωνα με τη σχετική της σημαντικότητα και ακρίβεια. Ουδέποτε έχει αναπτυχθεί, όμως, κάποια αυτόματη γενική τεχνική η οποία θα παράγει βέλτιστη στάθμιση με έναν αποτελεσματικό και ασφαλή τρόπο. Επί πλέον, η ίδια η διαδικασία στάθμισης μπορεί να εισάγει σφάλματα στρογγύλευσης, εκτός και αν είμαστε πολύ προσεκτικοί (για παράδειγμα, αν χρησιμοποιούμε μόνο δυνάμεις της βάσης αρίθμησης ως παράγοντες της στάθμισης).

Η Επαναληπτική Βελτίωση αποτελεί ένα άλλο μέσον πιθανής βελτίωσης της ακρίβειας της υπολογισθείσας λύσης. Δεδομένης μιας προσεγγιστικής λύσης 675#675 για το γραμμικό σύστημα 383#383 υπολογίστε το υπόλοιπο

Δυστυχώς, η επαναληπτική βελτίωση απαιτεί διπλάσια μνήμη, αφού χρειάζονται και ο αρχικός πίνακας και η 2#2 παραγοντοποίησή του (για να υπολογιστεί το υπόλοιπο και για να λυθούν τα προκύπτοντα συστήματα, αντίστοιχα). Επί πλέον, για να παραχθούν από την μέθοδο της επαναληπτικής βελτίωσης αποτελέσματα με σημαντικές βελτιώσεις, το υπόλοιπο πρέπει συνήθως να υπολογίζεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που χρησιμοποιήθηκε για να υπολογιστεί η αρχική λύση (θυμηθείτε το Παράδειγμα 1.13).

Γι' αυτούς τους λόγους, η επαναληπτική βελτίωση συχνά δεν είναι πρακτική για να χρησιμοποιείται τακτικά, αλλά παρ' όλα αυτά μπορεί να είναι χρήσιμη σε κάποιες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, η επαναληπτική βελτίωση μπορεί να επαναφέρει πλήρη ακρίβεια σε συστήματα που έχουν κακή στάθμιση, και μπορεί να σταθεροποιήσει μεθόδους επίλυσης που θα ήταν αλλιώς ασταθείς. Αποτεεί ειρωνεία το γεγονός ότι, αν η αρχική λύση είναι σχετικά κακή, τότε το υπόλοιπο μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο ώστε να μπορεί να υπολογιστεί χωρίς να απαιτείται επί πλέον ακρίβεια. Θα επιστρέψουμε στην επαναληπτική βελτίωση αργότερα, στο Παράδειγμα 11.6.