Έλλειψη διαστάσεων.

Μέχρι τώρα υποθέταμε ότι ο 369#369 είχε όλες τις διαστάσεις, 871#871. Αν βρεθούμε σε μία διαφορετική κατάσταση από αυτή, π.χ., αν ο 369#369 έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες, τότε ναι μεν ισχύει ακόμα η παραγοντοποίηση 8#8, αλλά ο άνω τριγωνικός παράγοντας 777#777 είναι ιδιάζον πίνακας (όπως είναι ο 627#627). Άρα, πολλά διανύσματα 33#33 δίνουν την ίδια ελάχιστα διαφορετική νόρμα, και η λύση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι μοναδική. υτή η κατάσταση συνήθως προκύπτει από ένα ελλιπώς σχεδιασμένο πείραμα, ανακριβή δεδομένα, ή ένα αναξιόπιστο ή περιττό μοντέλο. ’ρα, πιθανότατα το πρόβλημα θα έπρεπε να αναμορφωθεί ή να αναθεωρηθεί.

Αν, παρόλα αυτά, κάποιος επιμένει να σχηματίζει το πρόβλημα σε αυτή τη μορφή, τότε μία κοινή πρακτική είναι να συλλέγουμε την ελάχιστα διαφορετική λύση 33#33 που έχει τη μικρότερη νόρμα. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί μέσω της παραγοντοποίησης 8#8 με την οδήγηση στηλών, με το οποίο θα ασχοληθούμε αργότερα, ή μέσω της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής στα συστατικά της (12#12), το οποίο θα μελετήσουμε στην Ενότητα 4.5. Παρατηρείστε ότι μία τέτοια διαδικασία για την αντιμετώπιση της έλλειψης διαστάσεων μας επιτρέπει ακόμα και να χειριζόμαστε ακαθόριστα προβλήματα, όπου 710#710, αφού οι στήλες του 369#369 είναι υποχρεωτικά εξαρτημένες σε αυτή την περίπτωση.

Στην πράξη, οι διαστάσεις ενός πίνακα συχνά δεν είναι ξεκάθαρα ορισμένες. Επομένως, χρησιμοποιείται μία σχετική ανεκτικότητα κατά την ανίχνευση καταστάσεων που βρίσκονται κοντά σε αυτήν έλλειψης διαστάσεων για τα προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων, όπως ακριβώς και κατά την ανίχνευση καταστάσεων που βρίσκονται κοντά στην ιδιάζουσα κατάσταση των τετραγωνικών γραμμικών συστημάτων. Αν ένα πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων βρίσκεται κοντά στην κατάσταση έλλειψης διαστάσεων, τότε η λύση θα είναι ευαίσθητη σε διαφοροποιήσεις των δεδομένων. Θα μπορούμε να εξετάσουμε αυτές τις ενότητες με μεγαλύτερη ακρίβεια όταν θα εισάγουμε την έννοια της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής ενός πίνακα στην ενότητα 4.5. Από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την παραγοντοποίηση 8#8, η επικρατούσα για την ανίχνευση και την αντιμετώπιση πιθανούς έλλειψης διαστάσεων είναι η οδήγηση στηλών, με την οποία θα ασχοληθούμε αμέσως μετά.